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数值计算方法

要求：

一、 独立完成，下面已将五组题目列出，请按照学院平台指定的做题组数作答，

每人只答一组题目，多答无效，满分100分；

    平台查看做题组数操作：学生登录学院平台→系统登录→学生登录→课程考试→离线考核→离线考核课程查看→做题组数，显示的数字为此次离线考核所应做哪一组题的标识；

    例如：“做题组数”标为1，代表学生应作答“第一组”试题； 

二、答题步骤：

1. 使用A4纸打印学院指定答题纸（答题纸请详见附件）；

2. 在答题纸上使用黑色水笔按题目要求手写作答；答题纸上全部信息要求手写，包括学号、姓名等基本信息和答题内容，请写明题型、题号；

三、提交方式：请将作答完成后的整页答题纸以图片形式依次粘贴在一个Word

    文档中上传（只粘贴部分内容的图片不给分），图片请保持正向、清晰；

1. 上传文件命名为“中心-学号-姓名-科目.doc”

2. 文件容量大小：不得超过20MB。

提示：未按要求作答题目的作业及雷同作业，成绩以0分记！

题目如下：

第一组：

一、 计算题（共56分）

1、 （28分）

设有线性方程组，其中    

（1）求分解;  

（2）求方程组的解  

(3)  判断矩阵的正定性

2、（28分）

用列主元素消元法求解方程组

二、 论述题（共44分）

1、 （28分）

已知方程组，其中

（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式； 

（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快。

2、（16分）

使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？

第二组：

一、 综合题（共82分）

1、 （28分）

已知下列函数表：

(1)写出相应的三次Lagrange插值多项式； 

(2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算的近似值。

2、（24分）

    求方程组的最小二乘解

3、（30分）

已知线性方程组

（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； 

（2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）

二、简述题（共18分）

1. 数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？

第三组：

一、计算题（共76分）

1、（22分）用高斯消元法求解下列方程组

2、（31分）

用雅可比方法求矩阵的特征值和特征向量

3、（23分）

求过点（-1，-2），（1,0）（3，-6），（4,3）的三次插值多项式

二、简述题（24分）

写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分

第四组：

一、计算题（共48分）

1、（24分）

取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分的近似值（保留4位小数）。

2、（24分）

设，求     

二、 论述题（共52分）

1、（30分）

已知方程组，其中

，

(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；

(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。

2、（22分）

数值积分公式 ，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式的代数精度是多少？

第五组：

计算题

1. 写出求解线性代数方程组   

的Gauss-Seidel迭代格式，并分析此格式的敛散性。（28分）

2.

（1）写出以0，1，2为插值节点的二次Lagrange插值多项式；

（2）以0，1，2为求积节点，建立求积分的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。（41分）

3.  利用Gauss变换阵，求矩阵的LU分解。（要求写出分解过程）

（31分）