福师23春《实变函数》在线作业一（标准答案）
试卷总分:100 得分:100
一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
2.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
3.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
4.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
5.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
6.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
7.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
8.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
9.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
10.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
11.若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差.
12.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
13.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
14.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
15.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
16.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
17.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
18.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
19.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
20.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
21.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
22.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
23.若f有界且m(X)<∞,则f可测。
24.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
25.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
26.可数集的测度必为零，反之也成立.
27.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
28.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
29.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
30.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
31.f可积的充要条件:|f|可积。
32.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
33.若f可测，则|f|可测，反之也成立.
34.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
35.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
36.零测度集的任何子集都是可测集.
37.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)
38.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A.连续函数
B.单调函数
C.有界变差函数
D.绝对连续函数
39.若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A.|A∪C|=|B∪D|
B.|A∩C|=|B∩D|
C.|A\C|=|B\D|
D.当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
40.若f∈L(X),则
A.f在X上几乎处处连续
B.存在g∈L(X)使得|f|<=g
C.若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
41.有限个可数集的乘积集是（ ）
A.有限集
B.可数集
C.有连续统势的集
D.基数为2^c的集
42.下列关系式中不成立的是（ ）
A.f(∪Ai)=∪f(Ai)
B.f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)
43.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
A.m(A)<m(B)
B.m(A)<=m(B)
C.m(B\A)=m(A)
D.m(B)=m(A)+m(B\A)
44.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A.f在R上处处不连续
B.f在R上为可测函数
C.f几乎处处连续
D.f不是可测函数
45.若f,g是有界变差函数，则（ ）
A.f+g有界变差函数
B.fg有界变差函数
C.f/g有界变差函数
D.max(f,g)有界变差函数
46.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A.f可测
B.|f|可积
C.f^2可积
D.|f|<∞.a.e.
47.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A.是L可测函数
B.不是L可测函数
C.有界函数
D.连续函数
48.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A.f+g不可测
B.fg不可测
C.g^2可测
D.|g|可测
49.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A.f^-1(f（A）)=A
B.f^-1(f（A）)包含A
C.f(f^-1（A）)=A
D.f(A\B)包含f(A)\f(B)
50.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
A.fn测度收敛于|f|
B.afn+bgn测度收敛于af+bg
C.(fn)^2测度收敛于f^2
D.fngn测度收敛于fg
