福师23春《实变函数》在线作业二（标准答案）
试卷总分:100 得分:100
一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
2.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
3.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
4.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
5.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
6.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
7.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
8.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
9.可数集的测度必为零，反之也成立.
10.若f有界且m(X)<∞,则f可测。
11.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
12.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
13.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
14.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
15.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
16.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
17.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
18.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
19.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
20.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
21.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
22.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
23.若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
24.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
25.f可积的充要条件:|f|可积。
26.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
27.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
28.若f可测，则|f|可测，反之也成立.
29.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
30.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
31.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
32.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].
33.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
34.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
35.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
36.若f∈BV,则f有界。
37.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)
38.若f∈L(X),则
A.f在X上几乎处处连续
B.存在g∈L(X)使得|f|<=g
C.若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
39.开集减去闭集其差集是（ ）
A.闭集
B.开集
C.非开非闭集
D.既开既闭集
40.若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A.|A∪C|=|B∪D|
B.|A∩C|=|B∩D|
C.|A\C|=|B\D|
D.当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
41.fn->f,a.e.,则
A.fn依测度收敛于f
B.fn几乎一致收敛于f
C.fn一致收敛于f
D.|fn|->|f|,a.e.
42.下列关系式中不成立的是（ ）
A.f(∪Ai)=∪f(Ai)
B.f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)
43.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A.是L可测函数
B.不是L可测函数
C.有界函数
D.连续函数
44.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A.f可测
B.|f|可积
C.f^2可积
D.|f|<∞.a.e.
45.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A.f在R上处处不连续
B.f在R上为可测函数
C.f几乎处处连续
D.f不是可测函数
46.若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A.g可积
B.g可测
C.g<∞，a.e.
D.当g可测时g必可积
47.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
A.fn测度收敛于|f|
B.afn+bgn测度收敛于af+bg
C.(fn)^2测度收敛于f^2
D.fngn测度收敛于fg
48.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A.f^-1(f（A）)=A
B.f^-1(f（A）)包含A
C.f(f^-1（A）)=A
D.f(A\B)包含f(A)\f(B)
49.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A.f+g不可测
B.fg不可测
C.g^2可测
D.|g|可测
50.若f,g是有界变差函数，则（ ）
A.f+g有界变差函数
B.fg有界变差函数
C.f/g有界变差函数
D.max(f,g)有界变差函数
